~~~~~ U N I D A D 2 ~~~~
S I S T E M A S - D E - E C U A C I O N E S - L I N E A L E S
En esta semana que está por finalizar, vimos como un pequeño tallón de lo que se tratará en la segunda unidad; sistema de ecuaciones lineales, el cual está dividido en diferentes subtemas;
2.5 Aplicaciones
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Estamos acostumbrados a utilizar ecuaciónes del tipo: 4x + y = 16 y la visualizamos muy facilmente ya que es una ecuación lineal en las variables x e y, y su gráfica en el plano cartesiano XY es una recta que pasa por los puntos (0,16) y (4,0). El álgebra lineal trata de la generalización de las ecuaciones lineales a n variables. Una ecuación de la forma:
a1x1+a2x2+a3x3+ ..... + anxn= b
donde los coeficientes a1, a2, .... , an y el término "b" son constantes numéricas reales, es llamada ecuación lineal en las variables x1, x2, ..... , xn.
Ejemplo:
5 x + 2 y = 12; 9 x - 2 y = 13; y x1 + x2 + . . . . . + xn = 0
Estas son tres ecuaciones lineales. Todas las variables de una ecuación lineal deben ser de primer grado, es decir, los exponentes de las variables deben ser la unidad, si por ejemplo alguna variable de la ecuacion estuviese elevado al cuadrado o a cualquier potencia , ya no sería una ecuación lineal.
Con esta pequeña intro se explica fácilmente y claramente la definición concreta del sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, tal como:
ax+by=c
dx+ey=f
puede tener o no una solución común.
Ahora bien procederemos a estudiar los sistema de ecuaciones que con compatibles...
Sistemas Compatibles. Se llaman Compatibles o Consistentes cuando los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, tienen por lo menos una solución.
Sistemas Incompatibles Se llaman Incompatibles o Inconsistentes cuando los Sistemas de ecuaciones lineales no tienen solución.
Cuando un sistema de dos ecuaciones lineales representan 2 rectas que se cruzan en un punto, este punto común representa la solución del sistema, luego se dice que este sistema es Consistente o Compatible.
Cuando un sistema de dos ecuaciones representan 2 rectas paralelas, es decir, que no tienen ningún punto común de intersección, luego no tienen solución, por lo tanto se dice que el sistema es Incompatible o Inconsistente.
Cuando un sistema de dos ecuaciones representan dos rectas que coinciden en todos sus puntos, se dice en este caso que tiene infinitas soluciones, por lo tanto se trata de un sistema Consistente o Compatible.
Cuando el sistema de 2 ecuaciones lineales tiene tres incógnitas, su representacion son planos que se cruzan en una recta, planos paralelos o planos coincidentes y se aplica el mismo concepto que para los sistemas con dos incógnitas.
Una ecuación lineal con dos incógnitas, ax + by = c, se representa mediante una recta.
La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas. Si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son los puntos de la recta.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones
3x+4y=10\
2x+y = 5 /
se representa del siguiente modo:
El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.
Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa mediante un plano. La representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado y si se cortan en una recta, el sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones.
2.4 Métodos de Solución de Sistemas Ecuaciones Lineales ( Gauss- Jordán, Eliminación Gaussiana)
~~~ Eliminación Gaussiana~~~
Los métodos numéricos para la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales se dividen en dos categorías generales: métodos exactos y métodos aproximados.
Se usan comúnmente dos métodos; la eliminación gaussiana y el método de Gauss- Jordan.
Se recomienda utilizar la estrategia de pivoteo en cualquier implementación que se haga de estos métodos sobre una computadora.
Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan los problemas como división entre cero.
Aunque en todos los demás sentidos son iguales, la eliminación gausiana es preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% más rápida.
Sin embargo, el método de Gauss-Jordan sigue siendo útil ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inversa como beneficio adicional en los cálculos.
Aunque los métodos de eliminación tienen una gran utilidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor muy importante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos.
~~~Gauss-Jordan~~~
En el Método de Gauss-Jordan: Este método también utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
El método consiste en convertir el sistema expresado como matriz ampliada y trabajar para trasformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema.
El procedimiento es similar al proceso de la eliminación gaussiana con la diferencia que no solo elimina los términos debajo de la diagonal principal sino también los que están sobre de ella.Es importante mencionar que este método es muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz.
2.5 APLICACIONESY bien... por último, como una aplicacion de todo lo visto anteriormente pongo un ejemplo matemático donde se aplican algunas cosas de lo explicado en el blog.
Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó tres veces.
La primera vez cambió un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dolar.
La segunda vez, cambió un o total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dolar.
La tercera vez cambió $434 o en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dolar.
¿Qué cantidades de yenes, francos y marcos compró cada vez?
Solución
En nuestro caso las incógnitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los o tres viajes:
x = cantidad de yenes
y = cantidad de francos
z = cantidad de marcos
Primera vez: 434(total) 1\100 x+ 1\1.5 y+1\1.2 z 100
Segunda vez: 406(total) = 1\100 x+ 1\1.2y+1\1.5 z
Tercera vez: 434(total) = 1\125x+ 1\1.2 y+1\1.2 z
Resolviendo el sistema anterior obtenemos:
x = 10500, y = 126, z = 294
y con ésto, se concluye la segunda unidad de Mate IV de la carrera de Ing. en Sistemas computacionales
Aquí les presento una sencilla explicacion de como resolver una ejercicio aplicando lo visto antes, solo que aqui cambia que tratamos con números complejos.
